La suite de fonction \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) telles que $$f_n(x)=e^{-nx^2}$$ converge-t-elle simplement ? Converge-t-elle uniformément sur \({\Bbb R}\) ?

Étudier la convergence simple

• si \(x=0\), alors \(f_n(0)=1{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\)
• si \(x\ne0\), alors \(f_n(x)=e^{-nx^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)

\((f_n)\) converge donc simplement vers \(f\), avec $$f(x)=\begin{cases}1&\text{si}\quad x=0\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Pour la convergence uniforme, regardons si \(\sup_x\lvert f_n(x)-f(x)\rvert{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
$$\begin{align}\underbrace{\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert}_{\geqslant0}&=\sup_{x\in{\Bbb R}^*}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\\ &=\sup_{x\in{\Bbb R}^*}\lvert e^{-nx^2}-0\rvert\\ &=\sup_{x\in{\Bbb R}^*} e^{-nx^2}\end{align}$$
\(1\) est un majorant de \(e^{-nx^2}\) pour \(x\in{\Bbb R}^*\) et \(\displaystyle\underset{x\ne0}{\lim_{x\to0}}e^{-nx^2}=1\), donc \(\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=1\ne0\)
\((f_n)_n\) converge donc simplement mais pas uniformément

(Convergence simple)

La suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}\) telles que $$g_n(x)=\frac n{n+x}e^{-x}$$ converge-t-elle simplement ? Converge-t-elle uniformément sur \({\Bbb R}_+\) ?

Convergence simple
$$g_n(x)=\frac{1}{1+\frac xn}e^{-x}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^{-x}$$

Simplifier l'expression de la preuve de la convergence uniforme
$$\begin{align}\lvert g_n(x)-g(x)\rvert&=\left|\frac n{n+x}e^{-x}-e^{-x}\right|\\ &=e^{-x}\frac{x}{n+x}\end{align}$$
(\(g_n)_n\) converge vers \(g\) uniformément si et seulement si \(\sup_{x\geqslant0}\lvert g_n(x)-g(x)\rvert{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)

Majoration
Remarquons que si on trouve une suite de majorants \((M_n)\) $$\lvert g_n(x)-g(x)\rvert\leqslant \underbrace{M_n}_{\text{indépendant de }x}$$ telle que \(M_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\), alors \(\lvert g_n(x)-g(x)\rvert{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) d'après le théorème des gendarmes

Étude d'un majorant
Étudions \(\varphi(x)=xe^{-x}\) :
\(\varphi\) est continue et on a \(\varphi(0)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0\)
De plus \(\varphi^\prime(x)=e^{-x}(1-x)\) $$\begin{array}{c|ccccc}x&0&&1&&+\infty\\ \hline\varphi^\prime&&+&0&-\\ \hline\varphi&0&\nearrow&\varphi(1)=\frac1e&\searrow&0\end{array}$$

Donc $$\lvert g_n(x)-g(x)\rvert=\frac{xe^{-x}}{n+x}\leqslant\frac{e^{-1}}{n+x}\leqslant\frac1{en}=M_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ \((g_n)\) tend donc vers \(g\) uniformément

(Théorème des gendarmes - Théorème de l'encadrement)

La suite de fonctions \(h_n:{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}\) telles que $$h_n(x)=\begin{cases} e^{-x}&\quad\text{ pour }\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ e^{-n}&\quad\text{ pour }\quad x\gt n\end{cases}$$ converge-t-elle simplement ? Converge-t-elle uniformément sur \({\Bbb R}_+\) ?

Convergence simple \(\to\) toujours dans le premier cas
Soit \(x\geqslant0\) (fixé)
$$\forall n\geqslant x,h_n(x)=e^{-x}$$
Autrement dit, la suite \((h_n(x))_n\) est constante à partir du rang \(E(x)+1\)

Convergence uniforme par majoration

Soit \(n\geqslant0\) (fixé)
$$\begin{align}\lvert h_n(x)-h(x)\rvert&=\begin{cases} \lvert e^{-x}-e^{-x}\rvert&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ \lvert e^{-n}-e^{-x}\rvert&\text{si}\quad x\gt n\end{cases}\\ &=\begin{cases}0&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ \lvert e^{-n}-e^{-x}\rvert&\text{si}\quad x\gt n\end{cases}\\ &=\begin{cases}0&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant n\\ e^{-n}-e^{-x}&\text{si}\quad x\gt n\end{cases}\end{align}$$
Et \(\forall x\gt n,0\leqslant e^{-n}-e^{-x}\leqslant e^{-n}=M_n\) avec \(M_n\) un majorant indépendant de \(x\) et \(M_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
On a donc convergence uniforme de \(h_n\) vers \(h\)

(Théorème des gendarmes - Théorème de l'encadrement)

Soit \(f_n:[0,1]\to{\Bbb R}\) définie par :$$f_n(x)=\begin{cases} nx-\frac1n&&\text{si}\quad x\in[0,\frac1n]\\ 1-x&&\text{si}\quad x\in[\frac1n,1]\end{cases}$$ étudier la convergence simple et uniforme de \((f_n)_n\)

Convergence simple

• si \(x=0\), \(f_n(0)=-\frac1n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
• si \(x\in\,]0,1]\), \(\forall n\) tels que \(x\gt \frac1n\) (\(\iff n\gt \frac1x\)), \(f_n(x)=1-x\). Donc si \(n_0=E(\frac1x)+1\), alors \(\forall n\geqslant n_0,f_n(x)=1-x\)

Donc la suite de nombres réels \((f_n(x))_n\) est constante à partir du rang \(n_0\) et donc convergente vers \(1-x\) $$f(x)=\begin{cases}0&&\text{si}\quad x=0\\ 1-x&&\text{si}\quad x\in\,]0,1]\end{cases}$$

Convergence uniforme via la continuité

On a $$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}1-x=1\ne f(0)$$ \(f\) n'est donc pas continue, donc la convergence n'est pas uniforme

( la continuité)

Soit \(f_n:[0,1]\to{\Bbb R}\) définie par :$$f_n(x)=\begin{cases} n^2x(1-nx)&&\text{si}\quad 0\leqslant x\leqslant\frac1n\\ 0&&\text{si}\quad x\gt \frac1n\end{cases}$$ étudier la convergence simple et uniforme de \((f_n)_n\)

Convergence simple

• si \(x=0\), alors \(\forall n,\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(0)=f(0)=0\)
• si \(x\gt 0\) est fixe, alors \(\forall n\gt \frac1x,f_n(x)=0\). À nouveau, la suite \((f_n(x))_n\) est constante égale à \(0\) à partir d'un certain rang (dépendant de \(x\))

Donc \(\forall x\in[0,1],f_n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} f(x)=0\)

Convergence uniforme via étude de fonction et recherche de maximum

$$\begin{align}\sup_{x\in[0,1]}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert&=\sup_{x\in[0,1]}f_n(x)\\ &=\sup_{x\in[0,1/n]} f_n(x)\end{align}$$
Étudions \(f_n(x)=n^2x(1-nx)\) pour \(x\in[0,\frac1n]\) :

• \(f_n(0)=f_n(\frac1n)=0\)
• \(f_n\geqslant0\) sur \([0,\frac1n]\)

$$f^\prime_n(x)=n^2\left(1-nx-nx\right)=0\iff x=\frac1{2n}$$
Donc $$\begin{align}\sup_{x\in[0,1/n]} f_n(x)=f\left(\frac1{2n}\right)=\frac n4\cancel{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\end{align}$$ la convergence n'est donc pas uniforme

On considère la suite de fonctions \(f_n:\;]0,+\infty[\to{\Bbb R},n\gt 0\), telles que $$f_n(x)=\frac{nx^2e^{-nx}}{(1-e^{-x})^2}$$ pour \(x\in\;]0,+\infty[\)

1. Montrer que cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle sur \(]0,+\infty[\)
2. Montrer que la convergence est uniforme sur tout domaine \([a,+\infty[\), pour \(a\gt 0\)
3. Étudier \(\lim_{x\to0}f_n(x)\). La convergence de notre suite de fonctions \(f_n\) peut-elle être uniforme sur \(]0,+\infty[\) ?

Convergence simple \(\to\) croissances comparées
$$f_n(x)=\frac{x^2}{(1-e^{-x})^2}\cdot\underbrace{ne^{-nx}}_{\to0\text{ par c.c}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ \(f_n\) converge donc simplement vers \(f_n:\;]0,+\infty[\) la fonction nulle

Convergence uniforme \(\to\) décomposer \(f_n\) en deux fonctions
$$\begin{align} f_n(x)&=\frac{x^2}{(1-e^{-x})^2}\cdot ne^{-nx}\\ &=\frac{x^2e^{-2x}}{(1-e^{-x})^2}\left( e^{2x}ne^{-nx}\right)\\ &=g^2(x)h_n(x)\quad\text{ avec }\quad g(x)=\frac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}\quad\text{ et }\quad h_n(x)=ne^{x(2-n)}\end{align}$$

Étude de \(g\) pour trouver un majorant (son maximum)
Étude de \(g\) sur \(]0,+\infty[\) : $$\begin{align}\lim_{x\to0}g(x)&=\lim_{x\to0}\frac x{e^x-1}=1\tag{*}\\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)&=0\tag{**}\end{align}$$
\((^*)\) : par croissances comparées ou via utilisation d'un DL
\((^{**})\) : par croissances comparées
Soit \(G(x)=\frac1{g(x)}\)
Alors $$G^\prime(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$ donc \(G\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\), donc \(G(x)\geqslant G(1)\) \(\forall x\), et donc \(g(1)\geqslant g(x)\) \(\forall x\geqslant0\)
$$\begin{array}{c|ccccc}&0&&1&&\infty\\ \hline g&1&\nearrow&\underset{\max}{g(1)}&\searrow&0\end{array}$$
Donc \(g(1)=\frac1{e-1}\) est donc un majorant de \(g\)

Étude de \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } h_n(x)\) \(\to\) conclusion sur convergence uniforme sur \([a,+\infty[\)
On a donc : $$\begin{align}0&\leqslant f_n(x)\leqslant g^2(x)h_n(x)\\ 0&\leqslant f_n(x)\leqslant\left(\frac1{e-1}\right)^2h_n(x)\end{align}$$
Par conséquent, $$\sup_{x\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert\leqslant\frac1{(e-1)^2}\sup_{x\geqslant a} h_n(x)$$ et donc, \(f_n\to0\) uniformément sur \([a,+\infty[\) si \(\sup_{x\geqslant a}h_n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
Si \(n\geqslant3\), \(2-n\lt 0\) et donc \(h_n(x)\leqslant ne^{(2-n)a}\quad\forall x\geqslant a\)
Et donc \(h_n(a){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
Conclusion ; \(\forall a\gt 0,(f_n)_n\) converge uniformément sur \([a,+\infty[\)

Convergence uniforme sur \(]0,+\infty[\) avec \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(\lim_{x\to0}f_n(x))\)

Soit \(n\gt 0\)
$$\begin{align}\lim_{x\to0} f_n(x)&=\lim_{x\to0}\left(\frac x{1-e^{-x}}\right)^2\cdot ne^{-nx}\\ &=n&&\text{(en utilisant les DL)}\end{align}$$
On a donc \(\displaystyle\lim_{x\to0}(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x))\ne\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(\displaystyle\lim_{x\to0}f_n(x))\), donc la convergence n'est pas uniforme sur \(]0,+\infty[\)

On considère la suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) telles que $$f_n(x)=x^2\exp(-n^2x^2)$$ pour \(x\in{\Bbb R}\)

1. Prouver que \(f_n\) converge uniformément sur \({\Bbb R}\) vers la fonction \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) que l'on explicitera
2. Quelle est la limite de la suite $$I_n=\int^1_0x^2\exp(-n^2x^2)\,dx$$

Convergence simple

• si \(x=0\), alors \(\forall n\in{\Bbb N},f_n(x)=0\)
• si \(x\ne0\), alors \(f_n(x)=x^2e^{-n^2x^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)

\((f_n)_n\) converge donc simplement vers la fonction nulle sur \({\Bbb R}\)

Convergence uniforme via changement de variable
$$\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=\sup_{t\geqslant0} t\exp(tn^2)$$

Majorant
Soit \(\varphi_n(t)=t\exp(-n^2t)\)
Alors \(\varphi^\prime_n(t)=(1-n^2t)\exp(-n^2t)=0\) si \(t=\frac1{n^2}\)
$$\begin{array}{c|ccccc}&0&&1/n^2&&\infty\\ \hline\varphi^\prime_n&&\nearrow&0&\searrow\\ \hline\varphi_n&0&\nearrow&\frac1{en^2}&\searrow&0\end{array}$$
Puisque \(\varphi(\frac1{n^2})=\frac1{en^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\), \(f\) converge uniformément sur \({\Bbb R}\)

Calcul de la limite de l'intégrale via convergence uniforme

$$\begin{align}\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } I_n&=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int^1_0x^2e^{-n^2x^2}\,dx\\ &\overset{\text{CVU}}=\int^1_0\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } x^2e^{-n^2x^2}\,dx\\ &=\int^1_00\,dx\\ &=0\end{align}$$

( d'intégration des limites uniformes)

On considère la suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) telles que $$f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}$$ pour \(x\in{\Bbb R}\)

1. Prouver que \(f_n\) converge uniformément vers une fonction \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) que l'on explicitera
2. Étudier la convergence uniforme de la suite \(f_n^\prime\)

Convergence simple
\(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)=\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\) donc \(f_n\) converge simplement vers \(f(x)=\lvert x\rvert\)

Convergence uniforme
On ne peut pas dériver \(f\) car la valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\)
$$\begin{align}\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert&=\sup_{x\in{\Bbb R}}\left|\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}-\sqrt{x^2}\right|\\ &\leqslant\sup_{x\in{\Bbb R}}\left(\sqrt{x^2}+\sqrt{\frac1{n^2}}-\sqrt{x^2}\right)\\ &\leqslant\sup_{x\in{\Bbb R}}\frac1n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\end{align}$$

La convergence uniforme ne dit rien sur la dérivée, donc on recommence
\(f^\prime_n(x)=\frac x{\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}}\)
Donc $$f^\prime_n(x)\longrightarrow\frac x{\lvert x\rvert}=\begin{cases}1&\text{si}\quad x\gt 0\\ -1&\text{si}\quad x\lt 0\\ 0&\text{si}\quad x=0\end{cases}$$

Convergence uniforme via continuité

Les dérivées convergence en tout point de \({\Bbb R}\), mais pas uniformément car \(\forall n,f_n^\prime\) est continue mais la limite \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n^\prime\) n'est pas une fonction continue
(en effet, \(f_n^\prime\) ne devrait pas converger uniformément car la limite uniforme de \(f_n\) (\(\lvert x\rvert\)) n'est pas dérivable)

( des limites uniformes)

On considère la suite de fonctions \(f_n:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\), \(n\gt 0\), telles que $$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{\sqrt n}$$ pour \(x\in{\Bbb R}\)

1. Prouver que \(f_n\) converge uniformément vers une fonction \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) que l'on explicitera
2. Observer que la suite de fonctions \(f_n^\prime\) diverge en tout point \(x\in{\Bbb R}\)

Convergence simple et uniforme (triviale)
On a : $$0\leqslant\lvert f_n(x)\rvert\leqslant\frac{\lvert\sin(nx)\rvert}{\sqrt n}\leqslant\frac1{\sqrt n}$$ donc \(f_n\) converge vers la fonction nulle, uniformément

Divergence de \(f_n^\prime\) : montrer que si \(f^\prime_n\) est minoré, alors il existe une sous-suite telle que \(f^\prime_{\varphi(n)}\) diverge. Donc soit \(f^\prime_n\) diverge, soit \(f^\prime_{\varphi(n)}\) diverge. \(f^\prime_n\) diverge donc dans les deux cas

\(f^\prime_n(x)=\sqrt n\cos (nx)\)
$$\cos(2nx)=\cos^2(nx)-\sin^2(nx)=2\cos^2(nx)-1$$
Si \(x=0\), alors \(f^\prime_n(0)=\sqrt n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty\)
Si \(n\in{\Bbb N}\) et \(x\in{\Bbb R}^*\). Si \(n\) et \(x\) sont tels que \(\lvert\cos(nx)\rvert\leqslant\frac1{n^\alpha}\) avec \(\alpha\lt \frac12\) alors : $$\begin{align}\lvert\cos(2nx)\rvert&=\lvert2\cos^2(nx)-1\rvert\\ &\geqslant\lvert 1-2\cos^2(nx)\rvert\\ &=1-2\cos^2(nx)\\ &\geqslant1-\frac2{n^{2\alpha}}\end{align}$$
Soit \(x\in{\Bbb R}^*\) et \(n\) assez grand
Alors $$\begin{align}\lvert\cos(nx)\rvert\geqslant\frac1{n^\alpha}&\quad\text{ ou }\quad \lvert\cos (2nx)\rvert\geqslant\frac12\\ \implies\lvert f^\prime_n(x)\rvert\geqslant n^{1/2-\alpha}&\quad\text{ ou }\quad\lvert f^\prime_{2n}(x)\rvert\geqslant\frac{\sqrt n}2\end{align}$$

On considère la suite de fonction \((f_n)_n\) définie sur \([0,1]\) par $$f_n(x)=\frac{1+x\cos(x^2)}{1+n\ln(1+x)+n^2xe^x}$$

1. Montrer que \((f_n)_n\) converge simplement mais pas uniformément sur \([0,1]\)
2. Si \(0\lt r\lt 1\), montrer que \((f_n)_n\) converge uniformément sur \([r,1]\)
3. Montrer que $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int^1_0f_n(x)\,dx=0$$

Convergence simple

• pour \(x=0\), \(f_n(0)=1{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\)
• pour \(x\in\;]0,1]\), \(f_n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)

\((f_n)_n\) converge donc simplement sur \(]0,1]\) vers la fonction \(f(x)=\begin{cases}1&&\text{si}\quad x=0\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}\)

Convergence uniforme via continuité
La limite \(f\) de \((f_n)_n\) n'est pas continue alors que toute les fonctions \(f_n\) sont continues. La limite n'est donc pas uniforme

Question 2 en majorant à la main
Soit \(0\lt r\lt 1\)
$$\begin{align}\sup_{r\leqslant x\leqslant1}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert&=\sup_{r\leqslant x\leqslant1}\frac{1+x\cos x^2}{1+n\ln(1+x)+n^2xe^x}\\ &\leqslant\sup_{r\leqslant x\leqslant1}\frac{2}{n\ln(1+r)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\end{align}$$
On a donc la convergence uniforme

Séparation : première intégrale converge par convergence uniforme
On a $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_0^1f_n(x)\,dx=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_0^rf_n(x)\,dx+\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_r^1f_n(x)\,dx$$
$$\forall r\in\;]0,1[,\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_r^1f_n(x)\,dx=\int^1_r\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)\,dx=0\tag1$$ car \((f_n)_n\) converge uniformément sur \([r,1]\)

Majoration \(\to\) deuxième intégrale converge si \(r\to0\)
Sur \(x\in[0,r]\), $$0\leqslant f_n(x)\leqslant\frac{1+r}{1}=1+r$$, et donc $$0\leqslant\int^r_0f_n(x)\,dx\leqslant\int^r_11+r\,dx=r(1+r)\underset{r\to0}\longrightarrow0\tag2$$

Vérifier que la première intégrale converge toujours avec \(r\to0\) (non fixé) \(\to\) conclusion

Soit \(\varepsilon\gt 0\)
Comme \(\displaystyle\lim_{r\to0} r(1+r)=0\), \(\exists r_\varepsilon\gt 0,r_\varepsilon(1+r_\varepsilon)\lt \frac\varepsilon2\)
Par \((1)\), avec \(r=r_\varepsilon\), \(\exists r_\varepsilon,\forall n\geqslant n_\varepsilon\), $$0\leqslant\int^1_rf_n(x)\,dx\lt \frac\varepsilon2$$
$$(2)\implies\forall\varepsilon\gt 0,\exists n\geqslant n_\varepsilon,\qquad0\leqslant\int^1_0f_n(x)\,dx\lt \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$$

Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ \((a_n)_n\) est décroissante et convergente
Montrer que pour tout \(\varepsilon\in\,]0,\pi/4[\), la suite de fonctions \((\tan^nx)_n\) converge uniformément sur \([0,\pi/4-\delta]\) vers \(0\)

Convergence simple
$$0\leqslant\tan x\lt 1\implies\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\tan^nx=0$$ donc $$\tan^n(x){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\begin{cases}1&\text{si}\quad x=\pi/4\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Pas continuité \(\to\) pas CVU
\(f_n\to f\), mais \(f\) n'est pas continue en \(1\), donc on n'a pas la CVU sur \([0,\pi/4]\)

CVU via majoration

\(\forall x\in[0,\pi/4-\delta]\), on a $$0\leqslant\tan^nx\leqslant\tan^n\left(\frac\pi4-\delta\right)$$
Et donc on a : $$\sup_{0\leqslant x\leqslant\pi/4-\delta}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=\tan^n\left(\frac\pi4-\delta\right){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$

Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ \((a_n)_n\) est décroissante et convergente
Pour tout \(\varepsilon\in\,]0,\pi/4[\), la suite de fonctions \((\tan^nx)_n\) converge uniformément sur \([0,\pi/4-\delta]\) vers \(0\)
En déduire que $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx=0$$

Décomposer l'intégrale
$$\int^{\pi/4}_0f_n(x)\,dx=\int^a_0f_n(x)\,dx+\int^{\pi/4}_af_n(x)\,dx$$avec \(0\lt a=\frac\pi4-\delta\lt \frac\pi4\)

Majorer l'intégrale embêtante
On a $$0\leqslant\int^{\pi/4}_a\tan^nx\,dx\leqslant\int^{\pi/4}_a1\,dx=\delta$$

Majorer la somme des intégrales par \(\frac\varepsilon2\)
Montrons que \(a_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\ell=0\)
Soit \(\varepsilon\gt 0\). Fixons \(\delta\gt 0,\delta\lt \frac\varepsilon2\) (\(\delta\lt \frac\pi4\))
Alors $$0\leqslant a_n=\int ^a_0f_n(x)\,dx+\delta\lt \int^a_0 f_n(x)\,dx+\frac\varepsilon2$$

Majoré par un \(\varepsilon\) \(\to\) convergent

Or, pour \(\delta\), et donc pour \(a\) fixé, on a \(\int^a_0f_n(x)\,dx{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
Et donc $$\exists n_\varepsilon,\forall n\geqslant n_\varepsilon,0\leqslant\int ^a_0f(x)\,dx\lt \frac\varepsilon2$$ et donc \(a_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\ell=0\)

1. Montrer que la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\exp(-x^2\sqrt n)$$ converge simplement sur \({\Bbb R}^*\)
2. Montrer qu'elle converge normalement sur tout domaine \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\), pour un paramètre \(a\gt 0\)
3. En déduire que la somme de cette série définit une fonction continue sur \({\Bbb R}^*\)
4. La convergence peut-elle être uniforme sur \({\Bbb R}^*\) ? Indication : on utilisera que le reste de cette série vérifie \(R_N(x)=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\exp(x^2\sqrt n)\geqslant\exp(-x^2\sqrt{N+1})\), pour tout \(x\in{\Bbb R}^*\)

1° : convergence simple : croissances comparées \(\to\) séries de Riemann

• pour \(x=1\), on a \(S(1)=\sum^{+\infty}_{n=0}e^{-\sqrt n}\). \(n^2e^{-\sqrt n}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) par croissances comparées, donc il existe \(C\) tel que \(e^{-\sqrt n}\leqslant\frac C{n^2}\) et donc \(f(1)\) converge par comparaison avec une série de Riemann convergente
• pour \(x\ne1\), on fait le changement de variable \(t=x^2\sqrt n\). On a donc \(t^4e^{-t}\underset{t\to+\infty}\longrightarrow0\), et donc il existe \(C\) tel que \(e^{-t}\leqslant\frac C{t^4}\) et \(S(x)\) converge pour \(x\ne0\) (il y a une division par \(0\))
• pour \(x=0\), \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}1=+\infty\)

\(S(x)\) converge donc simplement \(\forall x\in{\Bbb R}^*\)

2° : convergence normale : chercher un majorant
Soit \(n\geqslant0\)
$$\begin{align}\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert&=\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}e^{-x^2\sqrt n}\\ &=\sup_{x\geqslant a}e^{-x^2\sqrt n}\\ &=e^{-a^2\sqrt n}\end{align}$$
\(\sum^{+\infty}_{n=0}\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert\) converge donc (même justification que dans 1°), donc la série converge normalement, et donc uniformément sur \(]-\infty,-a]\,\cup\,[a,+\infty[\)

3° : continuité : propriété de la convergence uniforme
\(S\) est continue sur \({\Bbb R}^*\) si et seulement si \(S\) est continue en tout point \(x_0\in{\Bbb R}\) ("propriété locale")
Soit \(x_0\in{\Bbb R}^*\). Prenons \(a=\frac{\lvert x_0\rvert}2\)
\(S\) converge uniformément sur \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\) et les \(f\) sont continues
Donc \(S\) est continue sur \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\) et en particulier en \(x_0\)

4° pas de convergence uniforme : minorer par qqch qui ne tend pas vers \(0\) quand \(n\to+\infty\)

$$\begin{align}\lvert R_N(x)\rvert&=R_N(x)=\sum^{+\infty}_{n=N+1}e^{-x^2\sqrt n}\\ &\geqslant e^{-x^2\sqrt{N+1}}\\ \\ \implies \sup_{x\in{\Bbb R}^*}\lvert R_n(x)\rvert&\geqslant\sup_{x\gt 0} e^{-x^2\sqrt{N+1}}\\ &=1{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\ne0\end{align}$$ il n'y a donc pas de convergence uniforme sur \({\Bbb R}^*\)

(Série convergente)

1. Montrer que la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac x{1+n^2x^2}$$ converge simplement sur \({\Bbb R}\)
2. Prouver que la série \(S(x)\) converge normalement sur \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\), pour tout \(a\gt 0\)
3. En déduire que \(x\mapsto S(x)\) définie une fonction continue sur \({\Bbb R}^*\)
4. Que peut-on également déduire du résultat obtenu quant à \(\lim_{x\to\pm\infty}S(x)\) ?

1° : th des équivalents
$$f_n(x)=\frac x{1+n^2x^2}=\frac1{x^2}\frac1{\frac1{x^2}+n^2}\sim\frac1{x^2}\frac1{n^2}$$ la série est donc convergente simplement par le théorème des équivalents

2° : recherche de majorant (maximum de \(f_n\) dans \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\))
Soit \(n\geqslant1\). \(\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert=\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\frac{\lvert x\rvert}{1+n^2x^2}\) $$f^\prime_n(x)=\frac{1+n^2x^2-2n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}=\frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}=0\iff \lvert x\rvert=\frac1n$$

• pour \(n\geqslant1\) tel que \(\frac1n\geqslant a\), on a : $$\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert=\sup_{x\geqslant a}f_n(x)=f_n\left(\frac1n\right)=\frac1{2n}$$
• pour \(n\geqslant1\) tel que \(\frac1n\lt a\), on a : $$\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert=\sup_{x\geqslant a}f_n(x)=f_n(a)=\frac a{1+(na)^2}$$

Étude de la convergence de la somme des \(\sup\)
$$\sum\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}f_n(x)=\underbrace{\sum^{E(1/a)}_{n=1}\frac1{2n}}_{\text{somme finie}}+\underbrace{\sum_{n\gt E(1/a)}\frac a{1+(na)^2}}_{\text{CV}}$$
La série converge donc normalement sur \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\)

3° : continuité : propriété de la convergence uniforme
\(S\) est continue sur \({\Bbb R}^*\) si et seulement si \(S\) est continue en tout point \(x_0\in{\Bbb R}\) ("propriété locale")
Soit \(x_0\in{\Bbb R}^*\). Prenons \(a=\frac{\lvert x_0\rvert}2\)
\(S\) converge uniformément sur \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\) et les \(f\) sont continues
Donc \(S\) est continue sur \(]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[\) et en particulier en \(x_0\)

Théorème d'échange des limites

Puisque la convergence est uniforme et que chaque \(f_n\) a une limite quand \(x\to\pm\infty\), on a : $$\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sum^{+\infty}_{n=1}\frac x{1+(xn)^2}=\sum^{+\infty}_{n=1}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac1{\frac1x+n^2x}=\sum^{+\infty}_{n=1}0=0\\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sum^{+\infty}_{n=1}\frac x{1+(xn)^2}=\sum^{+\infty}_{n=1}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac1{\frac1x+n^2x}=\sum^{+\infty}_{n=1}0=0\end{align}$$

(Théorème d'échange des limites)

La série de fonctions \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}2nxe^{-nx^2}\) converge simplement sur \([0,+\infty[\) et normalement sur \([a,+\infty[\) pour \(a\gt 0\) fixé
Déterminer l'intégrale $$I_n(x)=\int^x_12nte^{-nt^2}\,dt$$ la somme \(I(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}I_n(x)\) et en déduire la valeur de \(S(x)\) pour \(x\gt 0\)

Calcul de l'intégrale : elle est de la forme \(\int^b_a u^\prime e^u\)
$$I_n(x)=\left[-e^{-nt^2}\right]^x_1=e^{-n}-e^{-nx^2}$$

Application du théorème de dérivation des limites uniformes
Soit \(a\gt 0\)
Appliquons le théorème sur \(]a,+\infty[\) : $$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\sum^\infty_{n=0}I_n(x)\text{ converge vers }I(x)\quad\forall x\gt a\\ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}I^\prime_n(x)\text{ CVU sur }]a,+\infty[\end{array}\right\}\implies I\in\mathcal C^1(]a,+\infty|)\quad\text{ et }\quad I^\prime(x)=\sum^\infty_{n=0}I^\prime_n(x)$$

Faire le lien avec \(S(x)\)
$$\begin{align} S(x)&=\sum^\infty_{n=0}2nxe^{-nx^2}\\ I(x)&=\sum^\infty_{n=0}I_n(x)\\ I^\prime(x)&=\left(\sum^\infty_{n=0}I_n(x)\right)^\prime\\ &\overset{\text{Thm}}=\sum^\infty_{n=0}I^\prime_n(x)\\ &=\sum^\infty_{n=0}f_n(x)\\ &=S(x)\end{align}$$

Calculer \(S(x)\) pour \(x\gt 0\)

$$\begin{align} I(x)&=\frac1{1-e^{-1}}-\frac1{1-e^{-x^2}}\\ S(x)&=I^\prime(x)=\frac{2xe^{-x^2}}{(1-e^{-x^2})^2}\quad\text{ pour }\quad x\gt 0\end{align}$$

la série de fonctions \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}2nxe^{-nx^2}\) converge simplement sur \([0,+\infty[\) et normalement sur \([a,+\infty[\) pour \(a\gt 0\) fixé
On a $$S(x)=\frac{2xe^{-x^2}}{(1-e^{-x^2})^2}\quad\text{ pour }\quad x\gt 0$$
La fonction \(S(x)\) est-elle continue en \(0\) ? La série \(S(x)\) converge-t-elle uniformément sur \([0,+\infty[\) ?

Cas \(x=0\) : étudier la continuité via les DL

$$S(x)=2\frac x{1-e^{-x^2}}\frac{e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}\underset0\sim2\frac{xe^{-x^2}}{x^4}\underset{x\to0}\longrightarrow+\infty$$
\(S\) n'est donc pas continue en \(0\) et ne converge pas uniformément sur \([0,+\infty[\)

La série de fonctions $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ converge normalement sur \({\Bbb R}_+\)
En déduire que la série des dérivées associée converge normalement sur tout domaine \([a,+\infty[\), pour \(a\gt 0\) et en déduire que la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(]0,+\infty[\)

Dériver
$$f^\prime_n(x)=-\frac n{n^2+1}e^{-nx}\leqslant\frac1ne^{-nx}$$

Lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonctions continues Soit \(a\lt b\) deux nombres réels et \(f\in\mathcal C^1([a,b])\).
Montrer que $$\lim_{\lambda\to+\infty}\int^b_a f(t)e^{i\lambda t}\,dt=0$$

On reformule l'intégrale via une Intégration par parties.
$$\int_a^bf(t)e^{i\lambda t}\,dt=\left[ f(t)\frac{e^{i\lambda t}}{i\lambda}\right]^b_a-\frac1{i\lambda}\int_a^bf^\prime(t) e^{i\lambda t}\,dt$$

On utilise ensuite l'inégalité triangulaire et le théorème des gendarmes pour avoir le résultat voulu.